15074. В кубе
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием
ABCD
и боковыми рёбрами
AA_{1}
,
BB_{1}
,
CC_{1}
,
DD_{1}
рёбра равны 1. Точки
K
,
L
и
M
лежат на рёбрах
C_{1}D_{1}
,
B_{1}C_{1}
и
BC
соответственно, причём
C_{1}K=\frac{1}{3}
,
C_{1}L=\frac{1}{4}
,
BM=\frac{1}{4}
. Прямая
l
пересекает прямые
AB
,
LM
,
A_{1}C_{1}
и
DK
в четырёх различных точках
P
,
Q
,
R
и
S
соответственно. Найдите отрезок
PS
.
Ответ.
\frac{\sqrt{865}}{18}
.
Указание. Прямые
DK
и
ML
пересекаются на продолжении ребра
CC_{1}
в точке
N
, причём
C_{1}N=\frac{1}{2}
. Точка
P
получается как пересечение прямых
DM
и
AB
, а точка
R
— прямых
LK
и
A_{1}C_{1}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 110, задача 5, вариант 1.3