15074. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 1. Точки K
, L
и M
лежат на рёбрах C_{1}D_{1}
, B_{1}C_{1}
и BC
соответственно, причём C_{1}K=\frac{1}{3}
, C_{1}L=\frac{1}{4}
, BM=\frac{1}{4}
. Прямая l
пересекает прямые AB
, LM
, A_{1}C_{1}
и DK
в четырёх различных точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Найдите отрезок PS
.
Ответ. \frac{\sqrt{865}}{18}
.
Указание. Прямые DK
и ML
пересекаются на продолжении ребра CC_{1}
в точке N
, причём C_{1}N=\frac{1}{2}
. Точка P
получается как пересечение прямых DM
и AB
, а точка R
— прямых LK
и A_{1}C_{1}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 110, задача 5, вариант 1.3