15075. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 1. Точки K
, L
и M
лежат на рёбрах AD
, CD
и C_{1}D_{1}
соответственно, причём AK=\frac{1}{2}
, CL=\frac{2}{3}
, C_{1}M=\frac{1}{3}
. Прямая l
пересекает прямые LM
, B_{1}D_{1}
, A_{1}K
и AB
в четырёх различных точках P
, Q
, R
и S
соответственно. Найдите отрезок PS
.
Ответ. \frac{\sqrt{427}}{9}
.
Указание. Прямые ML
и A_{1}K
пересекаются на продолжении ребра D_{1}D
в точке N
, причём DN=1
; Q
— точка пересечения прямых MA_{1}
и B_{1}D_{1}
; S
— общая точка прямых LK
и AB
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 110, задача 5, вариант 1.4