15076. Докажите, что в пространстве существует прямая, образующая равные углы с тремя заданными попарно не параллельными прямыми.
Решение. Можно считать, что все три прямые проходят через одну точку S
. Этого всегда можно добиться параллельным переносом.
Отложим от точки S
на каждой из прямых равные отрезки SA
, SB
и SC
. Если точки S
, A
, B
, C
(а значит, и данные прямые) лежат в одной плоскости, то в качестве искомой прямой можно взять любой перпендикуляр к этой плоскости.
Если же точки S
, A
, B
и C
являются вершинами некоторой пирамиды (не лежат в одной плоскости), опустим из вершины S
высоту SO
на плоскость основания ABC
. Прямоугольные треугольники AOS
, BOS
и COS
равны (по катету и гипотенузе), поэтому равны их углы ASO
, BSO
и CSO
. Следовательно, прямая SO
— искомая.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант Т1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 111, задача 5, вариант Т1.1