15078. Три шара лежат на плоском столе, касаясь его в вершинах прямоугольного треугольника ABC
с катетами AB=72
и AC=48
. Радиусы первых двух шаров, касающихся стола в точках A
и B
, равны соответственно 32 и 8. На отрезке AB
существует такая точка D
, что если третий шар покатится от точки C
по прямой CD
, то он пройдёт между первым и вторым шарами и коснётся каждого из них. Найдите радиус третьего шара.
Ответ. 9.
Решение. Обозначим шары, касающиеся плоскости ABC
в точках A
, B
и C
этими же буквами: шар A
, шар B
и шар C
. Пусть в момент касания шара C
и шара A
шар C
касается плоскости ABC
в точке P
, лежащей на отрезке CD
, а в момент касания шара C
и шара B
шар C
касается плоскости ABC
в точке Q
. Тогда AP
и BQ
— перпендикуляры к прямой CD
, причём (см. задачу 365)
AP=2\sqrt{R_{A}R_{C}}=2\sqrt{32R_{C}}=8\sqrt{2R_{C}},~BQ=2\sqrt{R_{B}R_{C}}=2\sqrt{8R_{C}}=4\sqrt{2R_{C}}.
Из подобия прямоугольных треугольников ADP
и BQD
получаем, что
\frac{AD}{BD}=\frac{AP}{BQ}=\frac{8\sqrt{2R_{C}}}{2\sqrt{2R_{C}}}=\frac{1}{2}.
Тогда
AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot32=48=AC.
Значит, прямоугольный треугольник равнобедренный, поэтому
8\sqrt{2R_{C}}=AP=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{48}{\sqrt{2}}=24\sqrt{2}.
Из равенства
8\sqrt{2R_{C}}=24\sqrt{2}
находим, что R_{C}=9
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 112, задача 5, вариант 2.1