15083. Известно, что в треугольной пирамиде ABCD
рёбра AB
и CD
равны 1 и 3, а объём пирамиды равен 2. Докажите, что ребро BC
не меньше 4.
Решение. Опустим из вершины D
высоту DH
на плоскость основания ABC
. Ясно, что выполняется неравенство DH\leqslant DC=3
, поскольку перпендикуляр не превосходит наклонной, проведённой к плоскости из той же точки.
Пусть \angle ABC=\alpha
, S
— площадь треугольника ABC
, V
— объём пирамиды ABCD
. Тогда
S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\alpha,
а так как AB=1
и 0\lt\sin\alpha\leqslant1
, то справедливо ещё одно неравенство S\frac{1}{2}BC
1=V=\frac{1}{3}S\cdot DH\leqslant\frac{1}{3}\cdot3\cdot\frac{1}{2}BC,
откуда BC\geqslant4
. Равенство возможно только в том случае, когда ребро CD
перпендикулярно плоскости основания, а треугольник ABC
прямоугольный (\alpha=90^{\circ}
).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант T2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 114, задача 5, вариант 2.1