15085. В пирамиде ABCD
известны рёбра AC=BC=5
, AB=AD=8
, BD=4
. Объём пирамиды равен 4\sqrt{15}
. Найдите ребро CD
.
Ответ. \sqrt{33}
.
Решение. Пусть F
— середина BD
, E
— середина AB
, \angle ABD=\alpha
, h
— высота пирамиды, проведённая из вершины C
, V
— объём пирамиды. По теореме Пифагора
CE=\sqrt{CA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3,
AF=\sqrt{BA^{2}-BF^{2}}=\sqrt{8^{2}-2^{2}}=2\sqrt{15}.
V=\frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle ABD}=\frac{1}{6}h\cdot BD\cdot AF=\frac{4\sqrt{15}}{3}h=4\sqrt{15}~\Rightarrow~h=3,
а так как высота CE
треугольника ABC
также равна 3, то CE
— высота пирамиды.
По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2AB\cdot BD}=\frac{64+16-64}{2\cdot8\cdot4}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4},
DE^{2}=BE^{2}+BD^{2}-2BE\cdot BD\cos\alpha=16+16-2\cdot16\cdot\frac{1}{4}=24.
Следовательно,
CD=\sqrt{DE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{24+9}=\sqrt{33}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2003, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2003, с. 104, задача 5, вариант 1.1