15089. Даны две сферы радиусов 1 и 5 с центрами A
и B
. Прямая касается этих сфер в точках C
и D
. Известно, что AB=4\sqrt{3}
, CD=4
. Найдите объём пирамиды ABCD
.
Ответ. \frac{8}{3}
.
Решение. Пусть AC=1
, CD=5
. Поскольку прямая, касающаяся сферы, перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то AC\perp CD
и BD\perp CD
.
Через точку D
проведём прямую, параллельную AC
, а через точку A
— прямую, параллельную CD
. Получится прямоугольник ACDE
, в котором AE=CD=4
и AE\parallel CD
. Прямая CD
перпендикулярна пересекающимся прямым DE
и BD
плоскости BDE
, поэтому AE
— перпендикуляр к этой плоскости. Тогда AE\perp BE
, поэтому \angle AEB=90^{\circ}
. Кроме того, высота BO
треугольника BDE
перпендикулярна пересекающимся прямым DE
и AE
, а значит, прямым AC
и CD
. Следовательно, BO
— высота пирамиды ABCD
, опущенная на грань ACD
.
Обозначим \angle BED=\alpha
. Тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABE
находим
BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{48-16}=4\sqrt{2},
а из треугольника BDE
по теореме косинусов —
\cos\alpha=\frac{BE^{2}+DE^{2}-BD^{2}}{2BE\cdot DE}=\frac{32+1-25}{2\cdot4\sqrt{2}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{2}},
Тогда
\alpha=45^{\circ},~BO=BE\sin45^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=4S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot1\cdot4=2.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ACD}\cdot BO=\frac{1}{3}\cdot2\cdot4=\frac{8}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2003, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 106, задача 5, вариант 2.1