15093. В сферу радиуса 3 вписана правильная треугольная призма ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Отрезок CD
— диаметр сферы. Известно, что AD=2\sqrt{6}
. Найдите объём призмы.
Ответ. 6\sqrt{15}
.
Решение. Плоскости оснований ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
пересекают сферу по окружностям, описанным около правильных треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть их центры — точки O
и O_{1}
соответственно. Середина M
отрезка OO_{1}
— центр сферы.
Проведём через точку C_{1}
диаметр C_{1}D
окружности с центром O_{1}
. Докажем, что CD
— диаметр сферы. Действительно, плоскость CC_{1}D
перпендикулярна плоскостям оснований и, значит, вместе с точкой O_{1}
содержит отрезок OO_{1}
(см. задачу 7713). Поскольку C_{1}D=2DO_{1}
, а OO_{1}\parallel CC_{1}
, то прямая CD
пересекает отрезок OO_{1}
в его середине, т. е. в центре M
сферы. Следовательно, CD
— диаметр сферы.
Пусть D_{1}
— ортогональная проекция точки D
на плоскость основания ABC
, высота призмы равна h
, а радиус окружностей с центрами O
и O_{1}
равен r
. Рассмотрим прямоугольные треугольники CC_{1}D
и ADD_{1}
.
Учитывая, что C_{1}D=2r
, AD_{1}=\frac{1}{2}CD_{1}=r
и CC_{1}=DD_{1}=h
, по теореме Пифагора получаем, что
h^{2}+4r^{2}=CC_{1}^{2}+C_{1}D^{2}=CD^{2}=6^{2}=36,
h^{2}+r^{2}=DD_{1}^{2}+AD_{1}^{2}=AD^{2}=(2\sqrt{6})^2=24.
Из системы
\syst{h^{2}+4r^{2}=36\\h^{2}+r^{2}=24\\}
находим, что r=2
, h=2\sqrt{5}
. Тогда сторона основания AB=r\sqrt{3}=2\sqrt{3}
, площадь основания S=3\sqrt{3}
. Следовательно, объём призмы
V=S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{5}=\frac{12\sqrt{3}}{4}\cdot2\sqrt{5}=6\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2002, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2002, с. 99, задача 5, вариант 1.1