1510. На стороне BC
треугольника ABC
взята точка D
так, что \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}
. Докажите, что AD
— биссектриса треугольника ABC
.
Указание. Воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника.
Решение. Проведём биссектрису AD_{1}
. Тогда BD_{1}:D_{1}C=AB:AC
.
Из единственности точки, делящей данный отрезок в данном отношении (считая от данного конца отрезка), следует, что точки D
и D_{1}
совпадают. Поэтому AD
— биссектриса треугольника ABC
.
Примечание. Аналогично, если для точки D
, лежащей на продолжении стороны BC
треугольника ABC
, верно равенство \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}
, то AD
— биссектриса внешнего угла при вершине A
треугольника.