15110. В правильной треугольной пирамиде SABC
рёбра основания ABC
равны 2, боковые рёбра равны 5, точка M
— середина ребра SB
. Отрезок CM
проецируется перпендикулярно на некоторую плоскость, проходящую через прямую SA
. Какое наименьшее значение может иметь проекция?
Ответ. \frac{23}{10}
.
Решение. Докажем сначала вспомогательное утверждение. Пусть в пространстве заданы некоторая прямая l
, плоскость \alpha
, проходящая через l
, и некоторый отрезок PQ
, который проецируется на плоскость \alpha
. Если отрезок параллельно перенести, то величина его проекции на плоскость не изменится. Поэтому можно считать, что один из концов отрезка (точка P
) лежит на прямой l
. Опустим из точки Q
перпендикуляр QR
на плоскость \alpha
и перпендикуляр QS
на прямую l
(рис. 1). По теореме о трёх перпендикулярах RS
— тоже перпендикуляр к l
. Катет PS
прямоугольного треугольника PRS
не больше его гипотенузы PR
, значит, проекция PR
отрезка PQ
на плоскость \alpha
не может быть меньше, чем проекция PS
этого отрезка на прямую l
. Для того, чтобы эти величины совпали, достаточно плоскость \alpha
выбрать так, чтобы она была перпендикулярна плоскости PQS
. В этом случае отрезок QS
окажется перпендикуляром к \alpha
, а точки R
и S
совпадут. Для нашей задачи это означает, что наименьшая величина проекции отрезка CM
на плоскость, проходящую через ребро SA
, равна проекции CM
на прямую SA
.
Опустим из точек C
и M
перпендикуляры CK
и MN
на прямую SA
(рис. 2). Пусть L
— середина отрезка AB
. Обозначим \angle LSB=\beta
. Тогда
\sin\beta=\frac{LB}{SB}=\frac{1}{5}~\Rightarrow~\cos\angle ASB=\cos2\beta=1-2\sin^{2}\beta=1-2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{23}{25},
поэтому
SN=SM\cos2\beta=\frac{5}{2}\cdot\frac{23}{25}=\frac{23}{10},~SK=SC\cdot\cos2\beta=5\cdot\frac{23}{25}=\frac{23}{5}.
Следовательно,
NK=SK-SN=\frac{23}{5}-\frac{23}{10}=\frac{23}{10}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2000, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 89, задача 5, вариант 1.1