15119. В треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и основаниями ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
через вершину B_{1}
и середины рёбер AA_{1}
и AC
проведена плоскость \alpha
. Найдите расстояние от середины ребра AB
до плоскости \alpha
, если известно, что расстояние от середины ребра CC_{1}
до этой плоскости равно 9.
Ответ. \frac{27}{4}
.
Решение. Докажем сначала вспомогательное утверждение. Пусть задана некоторая плоскость \alpha
и две точки P
иQ
, не принадлежащие ей. Опустим из точек перпендикуляры PM
и QN
на плоскость \alpha
и проведём к ней произвольным образом две параллельные наклонные PR
и QS
. (рис. 1). Прямоугольные треугольники PMR
и QNS
подобны, поэтому
\frac{PM}{QN}=\frac{PR}{QS}.\eqno(1)
Вернёмся к исходной задаче. Пусть точки D
, E
, P
и Q
— середины рёбер соответственно AA_{1}
, AC
, AB
и CC_{1}
данной призмы, S
— точка пересечения заданной в условии плоскости \alpha
с прямой CC_{1}
(рис. 2). Проведём через точку P
прямую, параллельную боковым рёбрам призмы. Эта прямая лежит в плоскости AA_{1}B_{1}B
и пересекает отрезок B_{1}D
в некоторой точке R
. Таким образом, к плоскости \alpha
проведены наклонные PR
и QS
.
Пусть боковые рёбра призмы равны a
. Тогда PR=\frac{3}{4}a
как средняя линия трапеции ADB_{1}B
. Из равенства треугольников ADE
и CSE
следует, что CS=AD=\frac{a}{2}
, откуда QS=a
. Обозначим через h_{P}
неизвестное расстояние от точки P
до плоскости \alpha
и h_{Q}=9
— заданное расстояние от точки Q
до этой плоскости. Тогда из (1) следует, что
\frac{h_{P}}{h_{Q}}=\frac{PR}{QS}=\frac{3}{4}~\Rightarrow~h_{p}=\frac{3}{4}h_{Q}=\frac{3}{4}\cdot9=\frac{27}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1999, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 84, задача 5, вариант 1.1