1512. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции, если основания трапеции равны a
и b
.
Ответ. \frac{2ab}{a+b}
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение. Пусть M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
, X
и Y
— точки пересечения данной прямой с боковыми сторонами AB
и CD
. Из подобия треугольников BMC
и DMA
находим, что
\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{BC}=\frac{a}{b}.
Поэтому \frac{AM}{AC}=\frac{a}{a+b}
.
Из подобия треугольников AMX
и ACB
находим, что
\frac{MX}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{a}{a+b}.
Поэтому
MX=\frac{a\cdot BC}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Аналогично находим, что MY=\frac{ab}{a+b}
. Следовательно,
XY=MX+MY=\frac{2ab}{a+b}.
