1514. В равнобедренном треугольнике ABC
сторона AC=b
, стороны BA=BC=a
; AN
и CM
— биссектрисы углов A
и C
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{ab}{a+b}
.
Указание. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{BN}{NC}=\frac{AB}{AC}=\frac{a}{b},~\frac{BM}{MA}=\frac{BC}{CA}=\frac{a}{b}.
Поэтому
\frac{BN}{BC}=\frac{BM}{BA}=\frac{a}{a+b}.
Из подобия треугольников BMN
и BAC
следует, что \frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}
. Поэтому
MN=\frac{AC\cdot BN}{BC}=\frac{ab}{a+b}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 28, с. 46