15142. Две правильные пирамиды SABC
и TABC
расположены по разные стороны от общей грани ABC
. Точка M
— середина ребра SB
. Найдите расстояние между прямыми AM
и CT
, если AB=8
, SA=5
, TA=6
.
Ответ. \frac{4\sqrt{11}}{3}
.
Решение. Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
, N
— середина AB
. Докажем, что SN\parallel CT
. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости, причём
\frac{CT}{SN}=\frac{6}{3}=2=\frac{CO}{ON},
поэтому прямоугольные треугольники TOC
и SON
подобны. Тогда SN\parallel AT
, и прямая CT
параллельна плоскости пересекающихся прямых SN
и AM
, т. е. плоскости ASB
. Значит, искомое расстояние d
между скрещивающимися прямыми AM
и CT
равно расстоянию от произвольной точки прямой CT
, например от C
, до этой плоскости. и Следовательно, это расстояние равно высоте пирамиды SABC
, проведённой из вершины C
.
Из прямоугольного треугольника ANS
находим что
SN=\sqrt{SA^{2}-AN^{2}}=\sqrt{25-16}=3.
Пусть V
— объём пирамиды SABC
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{64^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{25-\left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{16\sqrt{11}}{3}.
С другой стороны
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ASB}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AN=\frac{1}{3}\cdot8\cdot3\cdot d=4d.
Следовательно,
4d=\frac{16\sqrt{11}}{3}~\Rightarrow~d=\frac{4\sqrt{11}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1996, задача 5, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 69, задача 5, вариант 1.2