15146. В пирамиде
ABCD
ребро
BD
перпендикулярно рёбрам
AB
и
CD
. Найдите угол между прямыми
AB
и
CD
, если известно, что
BD:CD:PQ:AB=3:4:5:6
, где
P
и
Q
— середины рёбер
CD
и
AB
соответственно.
Ответ.
\arccos\frac{1}{4}
.
Решение. Через ребро
AB
проведём плоскость
\alpha
, перпендикулярную отрезку
BD
. Тогда прямая
CD
параллельна
\alpha
. Опустим из точки
P
перпендикуляр
PH
на плоскость
\alpha
. Тогда точка
H
лежит на ребре
BC
,
BDPH
— прямоугольник, а искомый угол
\varphi
равен либо углу
ABC
, если
\varphi\leqslant90^{\circ}
, либо углу
180^{\circ}-\varphi
, если
\varphi\gt90^{\circ}
.
Положим
BD=3x
,
CD=4x
,
PQ=5x
,
AB=6x
. Тогда
BH=DP=2x,~BQ=3x,~PH=BD=3x,~PQ=5x.

Из прямоугольного треугольника
PHQA
находим, что
HQ^{2}=PQ^{2}-PH^{2}=25x^{2}-9x^{2}=16x^{2}.

Тогда по теореме косинусов
\cos\varphi=\frac{BH^{2}+BQ^{2}-HQ^{2}}{2BH\cdot BQ}=\frac{4x^{2}+9x^{2}-16x}{2\cdot2x\cdot3x}=-\frac{1}{4}.

Следовательно,
\cos(180^{\circ}-\varphi)=-\cos\varphi=\frac{1}{4},

а искомый угол равен
\arccos\frac{1}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1996, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 71, задача 5, вариант 2.1