1515. В треугольнике ABC
известно, что AB=15
, BC=12
, AC=18
. В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису, проведённую из вершины C
?
Ответ. 2:1
.
Указание. Центр вписанной окружности лежит на каждой биссектрисе треугольника.
Решение. Пусть CM
— биссектриса угла C
, O
— центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника). Тогда
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{CB}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}.
Поэтому
AM=\frac{3}{5}AB=9,~\frac{OC}{OM}=\frac{AC}{AM}=\frac{18}{9}=2
(так как AO
— биссектриса треугольника AMC
).
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.201, с. 172