15150. В основании правильной треугольной пирамиды SABC
лежит треугольник ABC
, стороны которого равны 2\sqrt{3}
; боковые рёбра пирамиды равны 4. Точки M
и K
— середины рёбер SB
и BC
соответственно. На прямой MK
выбирается произвольным образом точка P
. Найдите наименьшую возможную величину угла PAB
.
Ответ. \arctg\frac{1}{2}
.
Решение. Опустим перпендикуляр MN
из точки M
на ребро AB
. Пусть L
— середина AB
. Тогда SL
— высота равнобедренного треугольника ASB
, MN\parallel SL
. Поскольку M
— середина SB
, то
NB=\frac{1}{2}BL=\frac{1}{4}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Отрезок KN
— средняя линия прямоугольного треугольника CLB
, поэтому, KN\perp AB
. Таким образом, каждая из прямых MN
и NK
, лежащих в плоскости NKM
, перпендикулярна прямой AB
. Значит, прямая AB
перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что для любой точки P
, выбранной на прямой MK
, треугольник ANP
прямоугольный, а для искомого угла PAB
(обозначим его через \alpha
) \tg\alpha=\frac{PN}{AN}
.
Минимальным \alpha
будет в том случае, когда значение \tg\alpha
наименьшее. Знаменатель AN
дроби \frac{PN}{AN}
— постоянная величина, поэтому \tg\alpha
будет наименьшим, когда NP\perp MK
, т. е. NP
— высота треугольника MNK
.
Найдём стороны треугольника MNK
.
MN=\frac{1}{2}SL=\frac{1}{2}\sqrt{AS^{2}-AL^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16-3}=\frac{\sqrt{13}}{2},
MK=\frac{1}{2}SC=2,~NK=\frac{1}{2}CL=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}.
Пусть \angle NKM=\beta
. По теореме косинусов
\cos\beta=\frac{NK^{2}+MK^{2}-NM^{2}}{2NK\cdot MK}=\frac{\frac{9}{4}+4-\frac{13}{4}}{2\cdot\frac{3}{2}\cdot2}=\frac{1}{2},
откуда \beta=60^{\circ}
. Значит,
NP=NK\sin\beta=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, минимальное значение
\tg\alpha=\frac{NP}{AN}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3}{4}\cdot2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1997, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 73, задача 5, вариант 1.1