15154. Прямоугольник ABCD
со сторонами AB=2
, BC=3
— основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'
. Боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
, DD'
равны 4. Точки P
и Q
— середины рёбер A'B'
и CC'
соответственно. На прямой B'C'
выбрана точка M
, причём расстояния от точек P
и Q
до прямой AM
равны. Найдите отрезок B'M
.
Ответ. 2 или -10. (В первом случае проекции точек P
и Q
на прямую AM
лежат по одну сторону от точки A
, а во втором — по разные стороны.)
Решение. Введём систему координат Axyz
с началом в точке A
, направив оси Ax
, Ay
и Az
по лучам AB
, AD
и AA'
соответственно. По условию задачи нужные нам точки имеют координаты A(0;0;0;)
, P(1;0;4)
, Q=(2;3;2)
, M=(2;y;4)
. Тогда
AP=AQ=\sqrt{17}.
Обозначим \angle PAM=\alpha
, \angle QAM=\beta
. Тогда расстояния от точек P
и Q
до прямой AM
равны соответственно
AP\sin\alpha=\sqrt{17}\sin\alpha,~AQ\sin\beta=\sqrt{17}\sin\beta.
По условию эти расстояния равны, поэтому \sin\alpha=\sin\beta
. Значит, \alpha=\beta
или \alpha+\beta=180^{\circ}
. Тогда скалярные произведения \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AM}
и \overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{AM}
либо равны, либо отличаются знаком, т. е.
2\cdot1+0\cdot y+4\cdot4=+(2\cdot2+3\cdot y+2\cdot4).
Значит, 18=+(3y+12)
, т. е. либо y=2
, либо y=-10
. (В первом случае проекции точек P
и Q
на прямую AM
лежат по одну сторону от точки A
, а во втором — по разные стороны.)
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1997, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 76, задача 5, вариант 1.1