15199. Через вершину A
правильного тетраэдра ABCD
параллельно ребру CD
проведена плоскость \beta
, которая делит тетраэдр на две части равных объёмов. Найдите расстояние от вершины B
до плоскости \beta
, если ребро тетраэдра равно 1.
Ответ. \sqrt{\frac{2(11+4\sqrt{2})}{89}}
.
Решение. Пусть M
и N
— точки пересечения плоскости \beta
с рёбрами BD
и BC
тетраэдра, K
— середина ребра CD
, AO
— высота пирамиды, опущенная из вершины A
на грань BCD
(рис. 1). Из условия задачи следует, что прямые MN
и CD
параллельны. Отрезок AO
— общая высота равновеликих пирамид ABMN
и AMNCD
. Значит, их основания равновелики. Тогда, площадь S_{1}
треугольника BMN
равна составляет половину площади S_{2}
основания BDC
, т. е. S_{2}=2S_{1}
.
Треугольники BMN
и BDC
подобны. Положим BD=x\cdot BM
. Тогда
S_{2}=x^{2}S_{1}~\Rightarrow~2S_{1}=x^{2}=S_{1}~\Rightarrow~x^{2}=2~\Rightarrow~x=\sqrt{2}.
Пусть K
— середина CD
, L
— точка пересечения отрезков MN
и BK
. Тогда
BL=\frac{1}{x}BK=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}.
Точка O
— центр равностороннего треугольника BCD
, поэтому
OK=\frac{1}{3}BK=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Из прямоугольного треугольника AOK
находим AO=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью ABK
(рис. 2). Поскольку AK
и BK
— высоты треугольников BDC
и ADC
, плоскость ABK
перпендикулярна прямым CD
и MN
. Опустим перпендикуляр BP
на прямую AL
. Заметим, что прямая BP
перпендикулярна пересекающимся прямым AL
и MN
, лежащим в плоскости \beta
. Следовательно, BP
— перпендикуляр к плоскости \beta
, а его длина равна искомому расстоянию.
Пусть \angle ABO=\varphi
. Тогда
\sin\varphi=\frac{AO}{AB}=\sqrt{\frac{2}{3}},~\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}.
По теореме косинусов из треугольника ABL
получаем
AL=\sqrt{AB^{2}+BL^{2}-2AB\cdot BL\cos\varphi}=\sqrt{\frac{11}{8}-\frac{1}{\sqrt{2}}}.
Вычислим двумя разными способами площадь S
треугольника ABL
. Поскольку BP
и AO
— его высоты, то
2S=AL\cdot BP=AO\cdot BL.
Следовательно,
BP=\frac{AO\cdot BL}{AL}=\sqrt{\frac{2}{11-4\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{2(11+4\sqrt{2})}{89}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1985, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 38, задача 5, вариант 1