15203. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой A_{1}C_{1}
, плоскость \beta
параллельна прямой AB
. Найдите наименьший возможный угол между плоскостями \alpha
и \beta
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Лемма. Пусть плоскости \alpha
и \beta
пересекаются по прямой l
и образуют двугранный угол \varphi\lt90^{\circ}
, точка M
принадлежит плоскости \beta
и не лежит на прямой l
, MK
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на плоскость \alpha
, ML
— перпендикуляр к прямой l
, S
— произвольная точка прямой l
(рис. 1). Тогда \angle MSK\leqslant\varphi
.
Доказательство. При этих условиях MLK
— линейный угол данного двугранного угла, \angle MLK=\varphi
, \sin\varphi=\frac{MK}{ML}
. Поскольку SM\geqslant LM
, прямоугольного треугольника MKS
получаем
\sin\angle MSK=\frac{MK}{SM}\leqslant\frac{MK}{ML}=\sin\varphi.
Следовательно, \angle MSK\leqslant\varphi
. Лемма доказана.
Вернёмся к исходной задаче. Проведём плоскости \alpha
и \beta
через точку D_{1}
. Пусть ребро куба равно 1, а O
— центр квадрата ABCD
. Прямая A_{1}C_{1}
перпендикулярна диагонали B_{1}D_{1}
грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и ребру DD_{1}
, поэтому плоскость BB_{1}D_{1}D
перпендикулярна A_{1}C_{1}
, т. е. совпадает с \alpha
. Плоскость \beta
проходит через прямую D_{1}C
, параллельную AB
, следовательно, D_{1}
лежит на ребре двугранного угла, образованного плоскостями \alpha
и \beta
. Поскольку AC
и A_{1}C_{1}
параллельны, CO
— перпендикуляр к плоскости \alpha
(рис. 2).
Заметим, что
CO=\frac{\sqrt{2}}{2},~CD_{1}=\sqrt{2},~\sin\angle OD_{1}C=\frac{CO}{CD_{1}}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle OD_{1}C=30^{\circ}.
Из доказанной леммы следует, что если \varphi
— угол между плоскостями \alpha
и \beta
, то \varphi\geqslant30^{\circ}
.
Покажем, это неравенство достигается, т. е., что угол \varphi
может быть равен 30^{\circ}
. В плоскости BB_{1}D_{1}D
через точку D_{1}
проведём прямую m
, перпендикулярную D_{1}O
. Затем проведём плоскость \beta
через пересекающиеся прямые m
и D_{1}C
. Тогда прямая m
будет ребром получившегося двугранного угла, а CD_{1}O
— его линейным углом. Значит, угол между плоскостями \alpha
и \beta
, построенными таким образом, равен 30^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1983, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 33, задача 4, вариант 1