15208. Основание параллелепипеда — параллелограмм ABCD
, в котором \angle A=60^{\circ}
, AB=3
, AD=1
. Боковые рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
перпендикулярны основанию и равны \sqrt{3}
. Точка M
выбрана на ребре CD
так, что DM=2CM
. Сфера касается плоскостей ABCD
и AA_{1}D_{1}D
, причём точки её касания с плоскостями лежат соответственно на прямых BM
и AD_{1}
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Пусть P
, Q
и R
— проекции центра сферы на плоскости ABCD
, AA_{1}D_{1}D
и прямую AD
соответственно. Используя равенство треугольников APR
и AQR
, докажите, что точки P
и B
совпадают.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1982, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 31, задача 5, вариант 2