15209. Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равны 3, точка N
лежит на ребре BC
, CN=\sqrt{3}
, AM
— высота боковой грани SAB
. Сфера касается плоскостей ABCD
и SAB
, причём точки касания лежат соответственно на прямых DN
и AM
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{3}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})
.
Указание. Точка P
касания сферы с плоскостью основания ABCD
получается в результате пересечения прямой DN
и луча с вершиной A
, проведённого под углом в 30^{\circ}
к прямой AB
в плоскости ABCD
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1982, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 32, задача 5, вариант 3