15210. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
сторона основания ABC
равна 2, высота призмы равна 4. Точка M
— середина ребра AB
, точка N
— середина ребра AA_{1}
. Точки P
и Q
выбраны на рёбрах A_{1}C_{1}
и B_{1}B
так, что C_{1}P=2PA_{1}
, BQ=3QB_{1}
. Сфера касается плоскостей ACC_{1}A_{1}
и ABB_{1}A_{1}
, причём точки касания лежат соответственно на прямых NP
и MQ
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{5\sqrt{3}}{6}
.
Указание. В отличие от вариантов 1-3 центр сферы лежит вне двугранного угла призмы при ребре AA_{1}
, а точка касания с плоскостью AA_{1}C_{1}C
находится в той полуплоскости относительно прямой AA_{1}
, которая не содержит точку C
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1982, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 33, задача 5, вариант 4