1523. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны l
и m
.
Ответ. \frac{ml}{m+l}
.
Указание. Обозначьте через x
сторону ромба и выразите сначала с помощью одной, а затем — другой диагонали параллелограмма отношение, в котором вершина ромба делит одну из сторон параллелограмма.
Решение. Пусть вершины M
, N
, K
и L
ромба MNKL
находятся на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
, AC=l
, BD=m
, MN\parallel AC
, NK\parallel BD
. Обозначим через x
сторону ромба.
Из подобия треугольников MBN
и ABC
следует, что \frac{BN}{BC}=\frac{x}{l}
. Поэтому \frac{CN}{BC}=\frac{l-x}{l}
. Из подобия треугольников NCK
и BCD
следует, что \frac{CN}{BC}=\frac{x}{m}
. Тогда
\frac{l-x}{l}=\frac{x}{m}.
Отсюда находим, что x=\frac{ml}{m+l}
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 49, с. 51