1526. ABCD
— данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена перпендикулярная к BC
прямая, которая пересекает BC
в точке E
, а продолжение AB
— в точке F
. Найдите BE
, если AB=a
, BC=b
и BF=c
.
Ответ. \frac{bc}{a+2c}
.
Указание. Если K
— точка пересечения прямых EF
и AD
, то треугольники FBE
и FAK
подобны.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей, K
— точка пересечения прямых EO
и AD
, x
— искомый отрезок. Из равенства прямоугольных треугольников KOD
и EOB
(по гипотенузе и острому углу) следует, что KD=BE=x
. Поэтому
AK=AD-KD=b-x.
Из подобия треугольников FBE
и FAK
следует, что
\frac{BE}{AK}=\frac{BF}{AF},~\mbox{или}~\frac{x}{b-x}=\frac{c}{a+c}.
Отсюда находим, что x=\frac{bc}{a+2c}
.