15300. Даны две треугольные пирамиды с общим основанием
ABC
. Их вершины
S
и
R
лежат по разные стороны от плоскости
ABC
. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Решение. Первый способ. Пусть рёбра
SA
,
SB
,
SC
параллельны граням
BCR
,
ACR
и
ABR
соответственно. Проведём через
SA
,
SB
,
SC
плоскости, которые параллельны
BCR
,
ACR
и
ABR
соответственно. Получается параллелепипед, пять вершин которого совпадают с вершинами наших пирамид (рис. 1).
Пусть
V
— объём этого параллелепипеда. Тогда объём пирамиды
RABC
равен
\frac{1}{6}V
, как и объём трёх других пирамид, основаниями которых являются грани тетраэдра
SABC
. Поэтому объём пирамиды
SABC
равен
V-4\cdot\frac{1}{6}V=2\cdot\frac{1}{6}V,

т. е. вдвое больше объёма пирамиды
RABC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть
M
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
(рис. 2). Пусть
\alpha
,
\beta
,
\gamma
— плоскости, проходящие через точки
A
,
B
,
C
, параллельные плоскостям
BCR
,
ACR
,
ABR
, соответственно. Поскольку
SA\parallel BCR
, точка
S
лежит в плоскости
\alpha
. Аналогично, она лежит и в плоскостях
\beta
и
\gamma
.
Пусть
R'
— образ точки
R
при гомотетии с центром в точке
M
и коэффициентом (-2). При этой гомотетии середина отрезка
BC
переходит в
A
, поэтому плоскость
BCR
переходит в плоскость
\alpha
. Значит, точка
R'
лежит в плоскости
\alpha
. Аналогично,
R'
лежит в плоскостях
\beta
и
\gamma
. Плоскости
ABR
,
BCR
,
ACR
имеют единственную общую точку, поэтому их образы
\alpha
,
\beta
,
\gamma
при рассматриваемой гомотетии тоже имеют единственную общую точку. Таким образом, получаем, что точка
R'
совпадает с
S
. По построению точки
R'
расстояние от неё до плоскости
ABC
в два раза больше, чем расстояние от
R
до этой плоскости, поэтому объём пирамиды
R'ABC
(она же
SABC)
вдвое ' больше объёма пирамиды
RABC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 11 класс