15300. Даны две треугольные пирамиды с общим основанием ABC
. Их вершины S
и R
лежат по разные стороны от плоскости ABC
. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
Решение. Первый способ. Пусть рёбра SA
, SB
, SC
параллельны граням BCR
, ACR
и ABR
соответственно. Проведём через SA
, SB
, SC
плоскости, которые параллельны BCR
, ACR
и ABR
соответственно. Получается параллелепипед, пять вершин которого совпадают с вершинами наших пирамид (рис. 1).
Пусть V
— объём этого параллелепипеда. Тогда объём пирамиды RABC
равен \frac{1}{6}V
, как и объём трёх других пирамид, основаниями которых являются грани тетраэдра SABC
. Поэтому объём пирамиды SABC
равен
V-4\cdot\frac{1}{6}V=2\cdot\frac{1}{6}V,
т. е. вдвое больше объёма пирамиды RABC
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
(рис. 2). Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— плоскости, проходящие через точки A
, B
, C
, параллельные плоскостям BCR
, ACR
, ABR
, соответственно. Поскольку SA\parallel BCR
, точка S
лежит в плоскости \alpha
. Аналогично, она лежит и в плоскостях \beta
и \gamma
.
Пусть R'
— образ точки R
при гомотетии с центром в точке M
и коэффициентом (-2). При этой гомотетии середина отрезка BC
переходит в A
, поэтому плоскость BCR
переходит в плоскость \alpha
. Значит, точка R'
лежит в плоскости \alpha
. Аналогично, R'
лежит в плоскостях \beta
и \gamma
. Плоскости ABR
, BCR
, ACR
имеют единственную общую точку, поэтому их образы \alpha
, \beta
, \gamma
при рассматриваемой гомотетии тоже имеют единственную общую точку. Таким образом, получаем, что точка R'
совпадает с S
. По построению точки R'
расстояние от неё до плоскости ABC
в два раза больше, чем расстояние от R
до этой плоскости, поэтому объём пирамиды R'ABC
(она же SABC)
вдвое ' больше объёма пирамиды RABC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2025, задача 3, 11 класс