15301. Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны a
, b
и c
. Выберите верное утверждение:
а) c\gt b=a
,
б) b=c\gt a
,
в) a=b=c
,
г) a\lt b\lt c
.
Ответ. г).
Решение. Обозначим длину горизонтальных участков через x
, y
, z
и t
(см. рисунок). Боковые стороны равнобедренных треугольников, отсекаемых соответственно основаниями x
, y
, z
и t
от боковой грани, идут в порядке возрастания. Тогда из подобия этих треугольников следует, что x\lt y\lt z\lt t
.
Пути состоят из нескольких горизонтальных участков и нескольких участков вдоль боковых рёбер пирамиды. В сумме длины участков вдоль боковых рёбер для каждого из приведённых путей равны длине бокового ребра (обозначим её через L
). Тогда
a=L+x+y,~b=L+2y,~c=L+y+z.
Заметим, что
1) L+x+y\lt L+y+y=L+2y
, откуда a\lt b
;
2) L+2y=L+y+y\lt L+y+z
, откуда b\lt c
.
Значит, a\lt b\lt c
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, школьный этап, задача 1, 10 класс