15301. Боковые грани пирамиды — четыре равных равнобедренных треугольника. На этих гранях проведены отрезки, параллельные основанию, как показано на чертеже. Длины путей, отмеченные на чертежах красным, соответственно равны
a
,
b
и
c
. Выберите верное утверждение:
а)
c\gt b=a
,
б)
b=c\gt a
,
в)
a=b=c
,
г)
a\lt b\lt c
.
Ответ. г).
Решение. Обозначим длину горизонтальных участков через
x
,
y
,
z
и
t
(см. рисунок). Боковые стороны равнобедренных треугольников, отсекаемых соответственно основаниями
x
,
y
,
z
и
t
от боковой грани, идут в порядке возрастания. Тогда из подобия этих треугольников следует, что
x\lt y\lt z\lt t
.
Пути состоят из нескольких горизонтальных участков и нескольких участков вдоль боковых рёбер пирамиды. В сумме длины участков вдоль боковых рёбер для каждого из приведённых путей равны длине бокового ребра (обозначим её через
L
). Тогда
a=L+x+y,~b=L+2y,~c=L+y+z.

Заметим, что
1)
L+x+y\lt L+y+y=L+2y
, откуда
a\lt b
;
2)
L+2y=L+y+y\lt L+y+z
, откуда
b\lt c
.
Значит,
a\lt b\lt c

Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, октябрь 2024, школьный этап, задача 1, 10 класс