15303. В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые
AB
и
CD
. Точки
E
и
F
— середины отрезков
AC
и
BD
соответственно. Докажите, что
\frac{AD+BC}{2}\gt BD-EF
.
Решение. Обозначим через
M
и
N
середины отрезков
AD
и
BC
. Тогда
ME
— средняя линия треугольника
ACD
, а
NF
— треугольника
BCD
. Следовательно,
ME\parallel CD\parallel NF
. Аналогично,
NE\parallel AB\parallel MF
. Таким образом, точки
M
,
E
,
N
,
F
лежат в одной плоскости, причём из условия
AB\perp CD
следует, что
MENF
— прямоугольник. Значит, равны его диагонали
MN
и
EF
. Заметим, что
\frac{AD+BC}{2}+EF=\frac{AD}{2}+\frac{BC}{2}+MN=(DM+CN)+MN=DM+MN+NB\gt DB

по обобщённому неравенству треугольника. Вычитая
EF
из обеих частей этого неравенства, получим требуемое.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, 1 февраля 2025, региональный этап, второй день, задача 8, 11 класс