15303. В пространстве даны скрещивающиеся перпендикулярные прямые AB
и CD
. Точки E
и F
— середины отрезков AC
и BD
соответственно. Докажите, что \frac{AD+BC}{2}\gt BD-EF
.
Решение. Обозначим через M
и N
середины отрезков AD
и BC
. Тогда ME
— средняя линия треугольника ACD
, а NF
— треугольника BCD
. Следовательно, ME\parallel CD\parallel NF
. Аналогично, NE\parallel AB\parallel MF
. Таким образом, точки M
, E
, N
, F
лежат в одной плоскости, причём из условия AB\perp CD
следует, что MENF
— прямоугольник. Значит, равны его диагонали MN
и EF
. Заметим, что
\frac{AD+BC}{2}+EF=\frac{AD}{2}+\frac{BC}{2}+MN=(DM+CN)+MN=DM+MN+NB\gt DB
по обобщённому неравенству треугольника. Вычитая EF
из обеих частей этого неравенства, получим требуемое.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2024-2025, 1 февраля 2025, региональный этап, второй день, задача 8, 11 класс