15305. Шар
\Omega
касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар
\omega
касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Ответ.
60-24\sqrt{6}
.
Решение. Пусть
A_{1}A_{2}\dots A_{n}
— нижнее, а
B_{1}B_{2}\dots B_{n}
— верхнее основание данной усечённой пирамиды;
O
и
O_{1}
— центры этих оснований (соответственно);
M
и
M_{1}
— середины рёбер
A_{1}A_{2}
и
B_{1}B_{2}
(соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что
MM_{1}=MO+M_{1}O_{1},~A_{1}B{1}=A_{1}M+B_{1}M_{1},~MO=A_{1}M\ctg\frac{180^{\circ}}{n},~M_{1}O_{1}=B_{1}M_{1}\ctg\frac{180^{\circ}}{n}.

Следовательно,
MM_{1}=(A_{1}M+B_{1}M)\ctg\frac{180^{\circ}}{n}=A_{1}B_{1}\ctg\frac{180^{\circ}}{n},

а так как
MM_{1}\lt A_{1}B_{1}
, то
\ctg\frac{180^{\circ}}{n}\lt1~\Rightarrow~\frac{180^{\circ}}{n}\gt45^{\circ}~\Rightarrow~n\lt4.

Значит, данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим ребро нижнего основания через
a
, верхнего — через
b
. Поскольку шар
\Omega
касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань
A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}
— описанная равнобокая трапеция с основаниями
a
и
b
. Пусть
Q
— центр вписанной в неё окружности,
T
— точка касания с боковой стороной
A_{1}B_{1}
. Радиус вписанной окружности найдём из прямоугольного треугольника
A_{1}QB_{1}
:
QT^{2}=A_{1}T\cdot B_{1}T=\cdot A_{1}M\cdot B_{1}M=\frac{ab}{4},~QT=\frac{1}{2}\sqrt{ab},

Значит,
MM_{1}=2QT=\sqrt{ab}
, а так как
MM_{1}=MO+M_{1}O_{1}=\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{b}{2\sqrt{3}}=\frac{a+b}{2\sqrt{3}},

то
\frac{a+b}{2\sqrt{3}}=\sqrt{ab},~\mbox{или}~(a+b)^{2}=12ab,

откуда
\frac{b}{a}=5-2\sqrt{6}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}

(так как
a\gt b
). Следовательно,
\frac{S_{\mbox{бок.}}}{S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}}=\frac{3\cdot\frac{a+b}{2}\cdot MM_{1}}{\left(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\right)}=\frac{2\sqrt{3}(2\sqrt{3ab})\sqrt{ab}}{a^{2}}=12\cdot\frac{b}{a}=60-24\sqrt{6}.

Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 20424/2025 11 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 1