15305. Шар \Omega
касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар \omega
касается всех её граней. Пусть сторона верхнего основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего основания.
Ответ. 60-24\sqrt{6}
.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}\dots A_{n}
— нижнее, а B_{1}B_{2}\dots B_{n}
— верхнее основание данной усечённой пирамиды; O
и O_{1}
— центры этих оснований (соответственно); M
и M_{1}
— середины рёбер A_{1}A_{2}
и B_{1}B_{2}
(соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных, проведённых к шару из одной точки, следует, что
MM_{1}=MO+M_{1}O_{1},~A_{1}B{1}=A_{1}M+B_{1}M_{1},~MO=A_{1}M\ctg\frac{180^{\circ}}{n},~M_{1}O_{1}=B_{1}M_{1}\ctg\frac{180^{\circ}}{n}.
Следовательно,
MM_{1}=(A_{1}M+B_{1}M)\ctg\frac{180^{\circ}}{n}=A_{1}B_{1}\ctg\frac{180^{\circ}}{n},
а так как MM_{1}\lt A_{1}B_{1}
, то
\ctg\frac{180^{\circ}}{n}\lt1~\Rightarrow~\frac{180^{\circ}}{n}\gt45^{\circ}~\Rightarrow~n\lt4.
Значит, данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим ребро нижнего основания через a
, верхнего — через b
. Поскольку шар \Omega
касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань A_{1}A_{2}B_{2}B_{1}
— описанная равнобокая трапеция с основаниями a
и b
. Пусть Q
— центр вписанной в неё окружности, T
— точка касания с боковой стороной A_{1}B_{1}
. Радиус вписанной окружности найдём из прямоугольного треугольника A_{1}QB_{1}
:
QT^{2}=A_{1}T\cdot B_{1}T=\cdot A_{1}M\cdot B_{1}M=\frac{ab}{4},~QT=\frac{1}{2}\sqrt{ab},
Значит, MM_{1}=2QT=\sqrt{ab}
, а так как
MM_{1}=MO+M_{1}O_{1}=\frac{a}{2\sqrt{3}}+\frac{b}{2\sqrt{3}}=\frac{a+b}{2\sqrt{3}},
то
\frac{a+b}{2\sqrt{3}}=\sqrt{ab},~\mbox{или}~(a+b)^{2}=12ab,
откуда
\frac{b}{a}=5-2\sqrt{6}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}
(так как a\gt b
). Следовательно,
\frac{S_{\mbox{бок.}}}{S_{\triangle A_{1}A_{2}A_{3}}}=\frac{3\cdot\frac{a+b}{2}\cdot MM_{1}}{\left(\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\right)}=\frac{2\sqrt{3}(2\sqrt{3ab})\sqrt{ab}}{a^{2}}=12\cdot\frac{b}{a}=60-24\sqrt{6}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 20424/2025 11 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 1