15312. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
площадь треугольника BCC_{1}
равна 1, треугольника ACC_{1}
— 34.
а) Пусть S
— площадь треугольника CDC_{1}
. Найдите S^{2}
.
б) Оказалось, что площадь треугольника ABC_{1}
равна 46. Чему равна площадь треугольника ABC
.
Ответ. а) 1155; б) 31.
Решение. Пусть рёбра, параллельные AB
, равны a
, рёбра, параллельные AD
, равны b
, а рёбра, параллельные AA_{1}
, равны c
. Поскольку треугольник BCC_{1}
прямоугольный, его площадь равна \frac{bc}{2}
, поэтому b^{2}c^{2}=4
. Поскольку треугольник ACC_{1}
прямоугольный, его площадь равна
\frac{1}{2}CC_{1}\cdot AC=\frac{1}{2}c\sqrt{a^{2}+b^{2}}=34~\Rightarrow~(a^{2}+b^{2})c^{2}=2^{2}\cdot34^{2}=4624.
а) Поскольку треугольник CDC_{1}
тоже прямоугольный, то
S^{2}=(S_{\triangle CDC_{1}})^{2}=\frac{a^{2}c^{2}}{4}=\frac{(a^{2}+b^{2})c^{2}-b^{2}c^{2}}{4}=\frac{4624-4}{4}=\frac{4620}{4}=1155.
б) По теореме о трёх перпендикулярах AB\perp C_{1}B
, поэтому треугольник ABC_{1}
тоже прямоугольный. Значит,
\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}+c^{2}}~\Rightarrow~(b^{2}+c^{2})a^{2}=2^{2}46^{2}=8464~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}b^{2}=(b^{2}+c^{2})a^{2}-a^{2}c^{2}=8464-4\cdot1155=3844.
Следовательно, площадь прямоугольного треугольника ABC
равна
\frac{1}{2}ac=\sqrt{\frac{a^{2}c^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{3844}{4}}=\sqrt{361}=31.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 7.1, 11 класс