15315. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в котором A_{1}C_{1}=17
, AB_{1}=25
и BC_{1}=4\sqrt{29}
. Найдите объём параллелепипеда.
Ответ. 2400.
Решение. Обозначим AB=x
, BC=y
и CC_{1}=z
. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=289\\x^{2}+z^{2}=625\\y^{2}+z^{2}=464\\}
Вычитая из суммы второго и третьего уравнений системы первое получим
2z^{2}=625+464-289=800~\Rightarrow~z=20.
Аналогично найдём x=15
и y=8
. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, следовательно
V=xyz=15\cdot8\cdot20=2400.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2015, задача RE2B, с. 1