1533. AA_{1}
— медиана треугольника ABC
. Точка C_{1}
лежит на стороне AB
, причём AC_{1}:C_{1}B=1:2
. Отрезки AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке M
. Найдите отношения AM:MA_{1}
и CM:MC_{1}
.
Ответ. 1:1
; 3:1
.
Указание. Продолжите CC_{1}
до пересечения с прямой, параллельной BC
и проходящей через точку A
, и рассмотрите две пары точек подобных треугольников.
Решение. Через вершину A
проведём прямую, параллельную стороне BC
, и продолжим CC_{1}
до пересечения с этой прямой в точке T
. Пусть BA_{1}=A_{1}C=a
.
Из подобия треугольников TAC_{1}
и CBC_{1}
(коэффициент подобия \frac{1}{2}
) находим, что
AT=\frac{1}{2}BC=a,
а из равенства треугольников TAM
и CA_{1}M
—
\frac{AM}{MA_{1}}=1.
Аналогично находим, что \frac{CM}{MC_{1}}=3
.