1536. Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается её диагоналями на три части. Докажите, что отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
Указание. Каждый из указанных отрезков составляет одну и ту же часть от основания трапеции.
Решение. Пусть точки M
и N
расположены на боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
, K
и L
— точки пересечения прямой MN
с диагоналями AC
и BD
, MN\parallel BC
.
Треугольник AMK
подобен треугольнику ABC
, а треугольник DNL
— треугольнику DCB
, причём коэффициенты подобия одинаковы, так как \frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}
. Следовательно,
MK=BC\cdot\frac{AM}{AB}=BC\cdot\frac{DN}{DC}=LN.