1538. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.
Указание. Если отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен основаниям и делится диагоналями на три части, то отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.
Решение. Пусть M
— середина основания AD
трапеции ABCD
, а прямая BM
пересекает диагональ AC
в точке K
. Прямая l
, проходящая через точку K
параллельно прямой AD
, — искомая, поскольку медиана BM
треугольника ABD
делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AB
и BD
, параллельный AD
, а отрезки прямой l
, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равны.
Аналогично находим второе решение.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1958, билет 13, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 58-13-2, с. 65