1541. Сторона AD
параллелограмма ABCD
разделена на n
равных частей. Первая точка деления P
соединена с вершиной B
. Докажите, что прямая BP
отсекает на диагонали AC
часть AQ
, которая равна \frac{1}{n+1}
всей диагонали.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Треугольник AQP
подобен треугольнику CQB
с коэффициентом, равным
\frac{AP}{BC}=\frac{AP}{AD}=\frac{1}{n}.
Поэтому AQ=\frac{1}{n}QC
. Следовательно, AQ=\frac{1}{n+1}AC
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1945, VIII, 2-й тур, 7-8 классы
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — , № 12, с. 27
Источник: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — Ч. 2: Геометрия (планиметрия). — М.: ГТТИ, 1952. — № 93, с. 31
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.6, с. 12