1544. На стороны BC
и CD
параллелограмма ABCD
(или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM
и AN
. Докажите, что треугольник MAN
подобен треугольнику ABC
.
Указание. Рассмотрите подобные прямоугольные треугольники AMB
и AND
.
Решение. Первый способ. Пусть \angle A=\alpha\lt90^{\circ}
. Тогда прямоугольные треугольники AMB
и AND
подобны, так как \angle ABM=\angle ADN=\alpha
. Следовательно,
\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{BC},
а так как
\angle MAN=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\alpha=\angle ABC,
то треугольники MAN
и ABC
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Второй способ. Из точек M
и N
диагональ AC
видна под прямым углом, поэтому точки M
и N
лежат на окружности с диаметром AC
. Тогда
\angle AMN=\angle ACN=\angle BAC,~\angle ANM=\angle ACM=\angle ACB.
Следовательно, MAN
и ABC
подобны по двум углам.