1545. Через произвольную точку P
стороны AC
треугольника ABC
параллельно его медианам AK
и CL
проведены прямые, пересекающие стороны BC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что медианы AK
и CL
делят отрезок EF
на три равные части.
Указание. Пусть N
— точка пересечения медиан CL
с отрезком FE
. Используя подобие соответствующих треугольников, докажите, что NE=\frac{1}{3}EF
.
Решение. Пусть M
и N
— точки пересечения отрезка EF
с медианами AK
и CL
соответственно, а Q
— точка пересечения отрезка PE
с медианой CL
. Если O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то OK=\frac{1}{3}AK
, а так как PE\parallel AK
, то QE=\frac{1}{3}PE
.
Из подобия треугольников QEN
и PEF
(QN\parallel PF
) следует, что EN=\frac{1}{3}EF
. Аналогично FM=\frac{1}{3}EF
.
Автор: Готман Э. Г.
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 9, с. 33, М761
Источник: Задачник «Кванта». — М761
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.27, с. 14