1547. В четырёхугольнике ABCD
точка E
— середина AB
, F
— середина CD
. Докажите, что середины отрезков AF
, CE
, BF
и DE
являются вершинами параллелограмма.
Указание. Четырёхугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, — параллелограмм.
Решение. Пусть точки M
, N
, K
и L
— середины отрезков AF
, CE
, BF
и DE
соответственно. Средняя линия LN
треугольника DEC
пересекает медиану EF
этого треугольника в её середине — точке O
, а средняя линия MK
треугольника AFB
пересекает медиану FE
этого треугольника также в её середине, т. е. также в точке O
. При этом точка O
— середина LN
и середина MK
. Следовательно, MNKL
— параллелограмм.
Примечание. Утверждение задачи верно и в случае, когда точки A
, B
, C
, D
не лежат в одной плоскости.