1548. В треугольник вписан ромб со стороной m
так, что одни угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки, равные p
и q
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. p+q
, \frac{m(p+q)}{p}
, \frac{m(p+q)}{q}
.
Указание. Стороны ромба, не проходящие через вершину треугольника, отсекают от данного треугольника подобные между собой треугольники.
Решение. Пусть вершины M
, N
и K
ромба AMKN
лежат соответственно на сторонах AB
, AC
и BC
треугольника ABC
и BK=p
, CK=q
. Из подобия треугольников CKN
и KBM
находим, что \frac{KN}{BM}=\frac{CK}{BK}
. Следовательно,
BM=\frac{KN\cdot BK}{CK}=\frac{mp}{q}.
Следовательно,
AB=AM+BM=m+\frac{mp}{q}=\frac{m(p+q)}{q}.
Аналогично находим AC
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.200, с. 172