1550. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3
. Диагонали ромба равны m
и n
. Найдите стороны треугольника, содержащие стороны ромба.
Ответ. \frac{5}{6}\sqrt{m^{2}+n^{2}}
, \frac{5}{4}\sqrt{m^{2}+n^{2}}
.
Указание. Две стороны ромба отсекают от данного треугольника подобные ему треугольники.
Решение. Пусть вершины M
, K
и N
ромба AMKN
находятся соответственно на сторонах AB
, BC
и AC
треугольника ABC
. Сторона ромба равна \frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+n^{2}}
.
Из подобия треугольников CKN
и CBA
находим, что
\frac{NK}{AB}=\frac{CK}{CB}=\frac{3}{5}.
Следовательно,
AB=\frac{5}{3}NK=\frac{5}{6}\sqrt{m^{2}+n^{2}}.
Аналогично находим сторону AC
.