1551. Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины треугольника на его боковых сторонах, чтобы соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40?
Ответ. 6.
Указание. Меньшее основание трапеции отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, AB=BC=18
, AC=12
. Обозначим искомые отрезки BM
и BN
через x
. Тогда
AM=CN=18-x.
Из подобия треугольников MBN
и ABC
находим, что
MN=\frac{BM\cdot AC}{AB}=\frac{12x}{18}=\frac{2}{3}x.
Периметр трапеции AMNC
равен
2AM+AC+MN=2(18-x)+12+\frac{2}{3}x=40.
Отсюда находим, что x=6
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.224, с. 173