1555. Внутри прямого угла дана точка M
, расстояния которой от сторон угла равны 4 и 8. Прямая, проходящая через точку M
, отсекает от прямого угла треугольник с площадью 100. Найдите катеты треугольника.
Ответ. 20, 10 или 5, 40.
Указание. Обозначьте катеты через x
и y
и составьте систему уравнений.
Решение. Обозначим через x
и y
искомые катеты. Тогда
\frac{xy}{2}=100,~\mbox{или}~xy=200.
Кроме того, из подобия прямоугольных треугольников следует, что
\frac{8}{y-4}=\frac{x}{y}.
Отсюда находим, что x=\frac{8y}{y-4}
. Подставим x
в первое уравнение. Получим:
\frac{8y^{2}}{y-4}=200,~y^{2}=25y-100,~y^{2}-25y+100=0.
Следовательно, y_{1}=20
, x_{1}=10
или y_{2}=5
, x_{2}=40
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.193, с. 171