1556. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 вписан прямоугольник с периметром 24 так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Ответ. \frac{72}{13}
, \frac{84}{13}
.
Указание. Одна из сторон прямоугольника отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник.
Решение. Пусть вершины P
и Q
прямоугольника MPQK
принадлежат сторонам соответственно AB=10
и BC=17
треугольника ABC
, а вершины M
и K
— стороне AC=21
. По формуле Герона
S_{\triangle ABC}=\sqrt{24\cdot3\cdot14\cdot7}=7\cdot3\cdot4=84.
Если BD
— высота треугольника ABC
, то
BD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AC}=8.
Пусть PM=x
. Тогда PQ=12-x
. Из подобия треугольников BPQ
и BAC
следует, что их высоты BT
и BD
относятся, как основания PQ
и AC
, т. е.
\frac{8-x}{8}=\frac{12-x}{21}.
Отсюда находим, что x=\frac{72}{13}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.207, с. 172