1559. Треугольник ABC
не имеет тупых углов. На стороне AC
этого треугольника взята точка D
так, что AD=\frac{3}{4}AC
. Найдите угол BAC
, если известно, что прямая BD
разбивает треугольник ABC
на два подобных треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что BD
перпендикулярно AC
.
Решение. Если угол ADB
— тупой, то в треугольнике CBD
один из углов тупой. Тогда и в треугольнике ABC
один из углов тупой, что невозможно по условию. Аналогично докажем, что угол ADB
не может быть острым. Следовательно, \angle ADB=90^{\circ}
и \angle BDC=90^{\circ}
.
Если \angle BCD=\angle BAD
, то треугольник ABC
— равнобедренный. Тогда его высота BD
является медианой, что противоречит условию. Поэтому \angle BCD=\angle ABD
и \angle DBC=\angle BAD
, т. е. треугольник ABD
подобен треугольнику BCD
. Следовательно,
\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=\angle ABD+\angle BAD=90^{\circ}.
Обозначим DC=x
. Тогда
AD=3x,~BD=\sqrt{AD\cdot DC}=x\sqrt{3},
\tg\angle BAC=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3},~\angle BAC=30^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1969, № 3, вариант 1