1561. В треугольнике ABC
на основании AC
взяты точки P
и Q
так, что AP\lt AQ
. Прямые BP
и BQ
делят медиану AM
на три равные части. Известно, что PQ=3
. Найдите AC
.
Ответ. 10.
Указание. Через вершину B
проведите прямую, параллельную AC
.
Решение. Первый способ. Проведём через вершину B
прямую, параллельную AC
, и продолжим медиану AM
до пересечения с этой прямой в точке T
(рис. 1). Из равенства треугольников BMT
и CMA
следует, что BT=AC
и MT=AM
.
Пусть F
и H
— точки пересечения медианы AM
с отрезками BP
и BQ
соответственно. Тогда
AF=\frac{1}{6}AT,~AH=\frac{1}{3}AT.
Из подобия треугольников AFP
и TFB
следует, что
AP=\frac{1}{5}BT=\frac{1}{5}AC,
а из подобия треугольников AHQ
и THB
—
AQ=\frac{1}{2}BT=\frac{1}{2}AC.
Поскольку AQ-AP=PQ=3
, то \frac{1}{2}AC-\frac{1}{5}AC=3
. Отсюда находим, что AC=10
.
Второй способ. Из условия ясно, что H
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Проведём через точку H
прямую, параллельную AB
(рис. 2). Пусть она пересекает AC
в точке K
. По теореме Фалеса PK:KQ=BH:HQ=2:1
, т. е. PK=2
, KQ=1
. Отрезок FP
— средняя линия треугольника HAK
, значит, AP=PK=2
. Следовательно,
AC=2AQ=2(2+2+1)=10.
