1564. В прямоугольной трапеции отношение диагоналей равно 2, а отношение оснований равно 4. Найдите углы трапеции.
Ответ. \arctg\frac{2}{3}
.
Указание. Примените теорему Пифагора и найдите отношение меньшего основания к меньшей диагонали.
Решение. Пусть BC=x
и AD=4x
— основания трапеции ABCD
, AC=y
, BD=2y
— её диагонали и AB
перпендикулярно AD
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ABC
и BAD
находим, что
AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}=BD^{2}-AD^{2},
т. е.
y^{2}-x^{2}=4y^{2}-16x^{2},~\mbox{или}~15x^{2}=3y^{2}.
Отсюда следует, что y=x\sqrt{5}
.
Пусть CK
— высота трапеции. Тогда
CK=AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5x^{2}-x^{2}}=2x,
DK=AD-AK=AD-BC=4x-x=3x.
Следовательно,
\tg\angle CDA=\frac{CK}{KD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1977, билет 2, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 77-2-4, с. 192
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 27, с. 186