1565. В равнобедренном треугольнике ABC
точки D
и E
делят боковые стороны в отношении BD:DA=BE:EC=n
. Найдите углы треугольника, если AE
перпендикулярно CD
.
Ответ. \arctg(2n+1)
; \arctg(2n+1)
; 180^{\circ}-2\arctg(2n+1)
.
Указание. Используя подобие треугольников, найдите \tg\angle DAE
.
Решение. Поскольку треугольник ABC
— равнобедренный, то ADEC
— равнобедренная трапеция.
Пусть K
— точка пересечения её диагоналей. Треугольник DBE
подобен треугольнику ABC
(с коэффициентом \frac{n}{n+1}
), а треугольник DKE
подобен треугольнику CKA
(с коэффициентом \frac{n}{n+1}
). Тогда
\tg\angle KAD=\frac{DK}{AK}=\frac{EK}{AK}=\frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB}=\frac{n}{n+1},
\tg\angle KAC=\tg45^{\circ}=1.
Поэтому
\tg\angle BAC=\tg(\angle KAD+\angle KAC)=\frac{1+\frac{n}{n+1}}{1-\frac{n}{n+1}}=2n+1.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1977, билет 3, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 77-3-4, с. 192