1566. В трапеции ABCD
сторона AB
перпендикулярна основаниям AD
и BC
. Точка E
— середина стороны CD
. Найдите отношение AD:BC
, если AE=2AB
и AE
перпендикулярно CD
.
Ответ. \frac{8}{7}
.
Указание. Пусть K
— проекция вершины C
на AD
. Рассмотрите треугольники CKD
и AED
.
Решение. Обозначим CE=DE=t
. Пусть K
— проекция вершины C
на основание AD
. Тогда
\sin D=\frac{CK}{CD}=\frac{AB}{2t}~\mbox{и}~\sin D=\frac{AE}{AD}=\frac{2AB}{AD},
поэтому \frac{AB}{2t}=\frac{2AB}{AD}
, откуда AD=4t
.
В то же время,
\cos D=\frac{DK}{CD}=\frac{DK}{2t}~\mbox{и}~\cos D=\frac{DE}{AD}=\frac{t}{4t}=\frac{1}{4},
поэтому \frac{DK}{2t}=\frac{1}{4}
, откуда DK=\frac{t}{2}
. Значит,
BC=AK=AD-DK=4t-\frac{t}{2}=\frac{7}{2}t.
Следовательно,
\frac{AD}{BC}=\frac{4t}{\frac{7}{2}t}=\frac{8}{7}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1977, билет 4, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 77-4-4, с. 193