1567. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны a
и b
.
Ответ. \frac{2ab}{|a-b|}
.
Указание. Рассмотрите пары подобных треугольников.
Решение. Пусть AD=b
и BC=a
(b\gt a)
основания трапеции ABCD
, P
— точка пересечения прямых AB
и CD
, M
и N
— точки пересечения прямых DB
и AC
с прямой, проходящей через точку P
параллельно основаниям трапеции.
Из подобия треугольников BPC
и APD
следует, что
\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}=\frac{a}{b},
а из подобия треугольников PCN
и DCA
—
\frac{PN}{AD}=\frac{PC}{CD}=\frac{a}{b-a}.
Отсюда находим, что
PN=AD\cdot\frac{a}{b-a}=\frac{ab}{b-a}.
Аналогично MP=\frac{ab}{b-a}
. Следовательно,
MN=PN+MP=\frac{2ab}{b-a}.
Если a\gt b
, то MN=\frac{2ab}{a-b}
.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 152, с. 16
Источник: Вступительный экзамен на математический факультет БГУ. — 1980
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 26, с. 186