1569. В равнобедренной трапеции ABCD
большее основание AD=12
, AB=6
. Найдите расстояние от точки O
пересечения диагоналей до точки K
пересечения продолжений боковых сторон, если продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом.
Ответ. \frac{12(3-\sqrt{2})}{7}
.
Указание. Если P
— середина основания AD
, то KO=KP-OP
.
Решение. Пусть P
— середина основания AD
. Тогда KP
— высота треугольника AKD
. Точки O
и M
(середина основания BC
) лежат на отрезке KP
. Поскольку \angle KAP=45^{\circ}
, то
KP=AP=\frac{1}{2}AD=6,
KB=AK-AB=6\sqrt{2}-6=6(\sqrt{2}-1),
BC=KB\sqrt{2}=6\sqrt{2}(\sqrt{2}-1).
Поэтому
\frac{BC}{AD}=\frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{12}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}},~\frac{OP}{OM}=\frac{AD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}.
Следовательно,
OP=\frac{MP\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}=\frac{6}{2\sqrt{2}-1}=\frac{6(2\sqrt{2}+1)}{7},
KO=KP-OP=6-\frac{6(2\sqrt{2}+1)}{7}=\frac{6(6-2\sqrt{2})}{7}=\frac{12(3-\sqrt{2})}{7}.
Источник: Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — М.: Наука, 1986. — № 97, с. 192